Han trascurrido más de 800 años desde que, en 1202, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, escribiera la obra ‘Liber Abaci’, un libro muy influyente en la Edad Media con el que perseguía introducir y extender en Europa la numeración indo-arábiga y, de este modo, facilitar el cálculo matemático.
De hecho, como explica a Soziable Eduardo Sáenz de Cabezón, matemático, profesor de Lenguajes y Sistemas Informáticos en la Universidad de La Rioja y presentador del programa de divulgación científica ‘Órbita Laika’, este sistema de numeración es “el que usamos hoy día, posicional con diez cifras, incluido el cero”
Fue en este libro donde el considerado como el más talentoso matemático del medievo introdujo, con la finalidad de resolver un problema sobre la reproducción de conejos, su célebre sucesión de Fibonacci, una secuencia infinita de números enteros que se define siguiendo una regla, a priori, muy sencilla.
En palabras de Marta Macho Stadler, doctora en Matemáticas y profesora de la Universidad del País Vasco, “empezamos con 0 y 1 y los siguientes números de la sucesión se definen como la suma de los dos anteriores. Es decir, el tercer término de la sucesión sería 1 (0+1), el cuarto 2 (1+1), el quinto 3 (1+2), el sexto 5 (2+3) y así sucesivamente”.
De este modo, los primeros términos de la secuencia de Fibonacci serían los siguientes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181… Y tras éstos, la sucesión, como señala Macho Stadler, “continuaría indefinidamente”.
Es, en concreto, en estos primeros términos de la secuencia donde reside la razón de conmemorar cada 23 de noviembre el Día Mundial de Fibonacci. Como aclara Sáenz de Cabezón, “es un guiño al comienzo de la sucesión. La fecha elegida es el 11-23 (si ponemos primero el mes y luego el día) y los primeros términos de la sucesión son 1-1-2-3, que forman la fecha del día de Fibonacci”.
Arquitectura y arte
La secuencia de Fibonacci tiene también una particular relación con el número áureo (φ), un número irracional que, como tal, no se puede escribir como una fracción exacta de dos números enteros. A este respecto, Eduardo Sáenz de Cabezón señala que “el número áureo es una proporción entre dos números, una división. Decimos que dos números a y b (a mayor que b) están en proporción áurea si la división entre la suma de ellos y el mayor, o sea (a+b)/a, es lo mismo que la división del mayor entre el menor, o sea a/b”.
Y, en cuanto a la relación de este número con la sucesión de Fibonacci, añade que “si tomamos dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, se van acercando a estar en proporción áurea conforme más grandes son, lo cual es bastante sorprendente e inesperado porque las definiciones de ambas cosas parecería que no tienen nada que ver”.
En la misma línea, Marta Macho Stadler explica que “cuando hacemos el cociente entre un término de la sucesión de Fibonacci y el inmediatamente anterior (es decir, 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, etc.), se puede observar que estas fracciones se van acercando al número φ. En matemáticas decimos que el límite (cuando n tiende a infinito) del cociente del n-ésimo término de la sucesión entre el (n-1)-ésimo término es φ”.
Dicho de otro modo, tal y como recalca Sáenz de Cabezón, este número “se calcula como el límite del cociente entre dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Es muy bonito y sorprendente que haya una relación tan estrecha”.
A este número, añade la matemática, se le atribuye un especial carácter estético. “El matemático y teólogo Luca Pacioli incluso hablaba de la consideración de este número como ‘divino’. En 1509 daba cinco propiedades matemáticas de φ que comparaba con otras tantas divinas para reafirmar su opinión. Y en arte y arquitectura se comenzaron a usar ‘proporciones áureas’”.
En el caso de la arquitectura, Macho Stadler indica que “parece que la fachada del Partenón tiene proporción áurea: el cociente entre su anchura y su altura es el número φ. Y digo ‘parece’ porque muchos estudiosos lo niegan”. Y no es el único ejemplo de la presencia de la proporción áurea en esta disciplina multifacética. “Se habla de proporción áurea en otras fachadas de iglesias o edificios, aunque no siempre parece que se realizaran con esa intención. Buscando esa proporción en construcciones arquitectónicas, es relativamente fácil encontrar esos ‘rectángulos áureos’ o aproximarse mucho a ellos”, apunta.
Con ella coincide, precisamente, Eduardo Sáenz de Cabezón, quien sostiene que “muchas veces se trata de encontrar en la arquitectura de la antigua Grecia y otras obras de arte” esta proporción áurea, aunque “frecuentemente no es más que un deseo, no hay una evidencia de que sea así”. Sin embargo, también revela que “sí que hay algunos artistas que la han usado de forma deliberada, como Leonardo Da Vinci o Dalí” y que “algunos arquitectos modernos la usan en sus obras”, tal vez porque, como afirma, “se asocia con la belleza y se dice que a nuestro gusto estético le resulta agradable”.
Uno de los casos más conocidos de la presencia del número áureo en el arte es, precisamente, el del cuadro ‘La última cena’, de Salvador Dalí, en el que, como apunta Macho Stadler, “las dimensiones del lienzo se encuentran en proporción áurea casi perfecta”. Y en el ámbito musical, agrega que “el compositor Erik Satie utilizó la proporción áurea en varias de sus piezas, entre otras, en Sonneries de la Rose+Croix”.
Naturaleza
La naturaleza es otro ámbito en el que también aparece la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, en entornos botánicos, como la ramificación de los árboles, las espirales de los frutos de una piña, la floración de la alcachofa, la distribución de semillas en flores o la colocación de las hojas en algunas plantas.
Sáenz de Cabezón explica que en esta relación entre la sucesión de Fibonacci y la naturaleza “se ha visto que algunas plantas distribuyen sus hojas en el tallo o sus semillas o los pétalos de sus flores de forma que optimizan la recepción de luz o que empaquetan de modo más preciso sus partes para aprovechar mejor el espacio. Estos patrones naturales siguen a veces una forma espiral cuyo progreso viene marcado por la sucesión de Fibonacci, así que parece estar muy relacionada con el comportamiento natural”.
Según Marta Macho Stadler, “esas estructuras responden a problemas de optimización. Por ejemplo, las semillas de los girasoles están colocadas en dos tipos de espirales que parten del centro, las levógiras y las dextrógiras. Si contamos las espirales de cada tipo, casi siempre obtenemos dos números de Fibonacci consecutivos: 13 y 21, 21 y 34, 34 y 55…”.
A este respecto, la matemática advierte que “esta distribución es una forma óptima de empaquetar semillas de tamaño semejante para que se distribuyan uniformemente independientemente de la extensión del cáliz”.
En cuanto a la distribución angular de las hojas de una planta alrededor del tallo (según su altura), Macho Stadler subraya que, en estos casos, “se observa que el número de giros horarios y antihorarios que hay que dar alrededor del tallo para que una hoja quede en la vertical de otra y el número de hojas que crecen entre estas dos posiciones son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci”.
La razón de que se produzca esta organización es similar al caso de las semillas de girasol. “Se debe probablemente a un principio de optimización, ya que con ella se garantiza que todas las hojas reciban la mayor cantidad posible de agua y luz solar a lo largo del ciclo diario”, explica la doctora en Matemáticas.
Reino animal
Y, además, la sucesión de Fibonacci también está presente en el reino animal. Por ejemplo, en la genealogía de las abejas. “Por la manera de reproducirse las abejas (el número de machos de una generación dada coincide con el número de hembras de la generación siguiente; y el número de hembras de una generación dada es igual al número de hembras en las dos generaciones venideras), es posible comprobar que el número de abejas (tanto de machos como de hembras) en la n-ésima generación es precisamente el n-ésimo número de Fibonacci”, detalla Marta Macho Stadler.
Otro caso en el que se ha detectado esta relación entre la sucesión de Fibonacci con el reino animal es el de la estructura de las conchas de los moluscos. En este sentido, Eduardo Sáenz de Cabezón explica que “algunas conchas de algunos moluscos, como el llamado Nautilus, siguen un crecimiento espiral que se aproxima bastante bien al crecimiento que se sigue mediante la sucesión de Fibonacci”. Y concluye que “es muy curioso que una sucesión tan aparentemente artificial describa tan bien estos fenómenos naturales”.